4 PASOS

Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. Empecemos con la primera ecuación que será lineal.
Ejemplo 1:  Y = x³ + 2x² – 3x – 1
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x
Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)


∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)
∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x² + 4x – 3
Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

MAXIMOS Y MINIMOS

Información que obtenemos de la derivada primera de una función

Ejemplo

DERIVADA

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

FUNCION Y LIMITE

FUNCION

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el
cero)

...

−2 → +4 ,

−1 → +1 ,

±0 → ±0 ,

+1 → +1 ,

+2 → +4 ,

+3 → +9 ,

...

LIMITE

 

es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.


 

Calculo diferencial

El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de Diferencial de una función.

En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

OCIO

Este es un vídeo para perder el tiempo  o poder hacer algo divertido.

PARALELOGRAMO

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.

Los paralelogramos se clasifican en:

• Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen
  • El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud,
  • El rectángulo, que tiene sus lados opuestos de igual longitud;

• Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:
  • El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de ángulos iguales.
  • El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales..

TIPOS DE TRIANGULOS

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó  radianes.)
• como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales ), y
• como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero	Isósceles	Escaleno

CIRCULO

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado ometría,centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de unplano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia  con cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.

La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble  del radio: d = 2r       r = d/2 .

Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

ANGULOS

¿Qué es un ángulo y su notación?

Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano.

Su notación: Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos <abc y <xyz. Podemos además nombrarlos mediante una letra griega o con un numero que se coloca dentro del ángulo. También se puede nombrar por la letra que represente al vértice.

¿Cómo pueden ser los ángulos? Definir cada uno.

Nulos: Si su medida es Cero.

Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°.

Rectos: si su medida es 90°.

Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°.

Llanos: Si su medida es 180°.

Reflejo: Si su medida esta cromprendida entre 180° y 360°.

¿Cuál es el instrumento para medir un ángulo y en que consiste? El transportador en el cual consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0 hasta 180. Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal.

ESPACIOS Y DIMENSIONES

EL PUNTO 

Es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

LA LINEA

es un seguimiento continuo de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una sola dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.

EL PLANO

Es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.

EL VOLUMEN

 es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico. En los dominios de tres dimensiones, el volumen se calcula mediante la integral triple extendida a dicho dominio, del elemento diferencial de volumen. En matemática el volumen de un cuerpo, es la medida que se le asocia al espacio que ocupa un cuerpo.

UBICACION

Se utilizan las matematicas en todo hasta para  saber donde vivimos  ver las calles aledañas  sus trazos, y dimensiones, hasta hacer una ruta especifica como esta.

GEOMETRIA

Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares,curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).

¿QUE SON LAS MATEMATICAS?

Las matemáticas es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas,símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones.